Induksi Matematika – Matematika merupakan keilmuan yang setiap hari kita temui, mulai dari bangun tidur hingga tidur lagi. Salah satu cabang keilmuan ini yang sering kita temukan adalah induksi matematika. Cabang keilmuan ini, menggunakan metode deduktif untuk membuktikan sebuah pernyataan yang bergantung pada himpunan bilangan yang detail.
Daftar Isi
Induksi Matematika
Sebagian besar, cabang keilmuan ini hanya digunakan untuk membuktikan kebenaran sebuah pernyataan ataupun formula, namun tidak menyelesaikan atau menurunkan pernyataan tersebut. Secara mudah, cabang keilmuan ini dapat dipahami dengan konsep efek domino dimana terdapat kondisi domino 1 harus jatuh dan domino yang jatuh, menjatuhkan yang lain. Inilah efek domino.
Contoh Induksi Matematika
Metode induksi ini diterapkan untuk membuktikan suatu pernyataan matematika atau ilmiah termasuk di dalamnya membuktikan rumus, apakah rumus tersebut berlaku untuk semua kasus ataukah ada batasan tertentu.
Contoh umum penggunaan induksi adalah untuk membuktikan rumus deret barisan aritmatika ataupun geometrik. Apabila Anda dihadapkan pada suatu deret aritmatika seperti 1, 3, 5, 7, 9 dan selanjutnya. Maka untuk menghitung jumlah total suatu barisan adalah dengan menggunakan rumus Sn = n (n+1)/ 2. Anda dapat membuktikannya dengan mengambil dua sampel.
Konsep Dasar yang Ada Pada Induksi Matematika
Untuk dapat menerapkan konsep induksi pada matematika, sebenarnya hanya perlu melakukan beberapa langkah sederhana saja. Langkah sederhana pertama yang harus dilakukan untuk membuktikan suatu rumus adalah benar yakni dengan menerapkan nilai n dasar pada persamaan tersebut. Langkah selanjutnya yakni menerapkan nilai n lainnya pada rumus tersebut.
Apabila hasil dari kedua nilai di atas baik nilai n dasar maupun nilai n selanjutnya benar, maka dapat dipastikan bahwa rumus tersebut adalah benar. Alasan mengapa cara induksi untuk matematika ini dapat diterapkan untuk membuktikan suatu rumus adalah benar karena terdapat efek domino dari pembuktian tersebut.
Maksud dari efek domino di sini adalah apabila pada penerapan yang pertama, misalnya untuk rumus jumlah barisan Sn adalah benar, maka hampir bisa dipastikan selanjutnya benar. Untuk itu, agar nilai selanjutnya dapat dipastikan kebenarannya adalah dengan mengaplikasikan rumus tersebut pada nilai berikutnya. Apabila Sn tetap bekerja untuk nilai selanjutnya, maka dapat dipastikan rumus tersebut benar.
Metode pembuktian dengan induksi ini dapat diterapkan pada hampir semua metode penelitian ilmiah. Metode ini terkadang bisa jadi bernilai lemah ataupun kuat, bergantung dari persoalannya. Meski begitu, secara umum metode penalaran induktif ini dapat diterapkan pada pembuktian rumus matematika.
Pembuktian Rumus Pertidaksamaan
Induksi matematika digunakan untuk pembuktian rumus pertidaksamaan. Untuk membuktikan sebuah rumus, Anda harus memahami 3 prinsip dasar induksi. Yang pertama adalah menunjukkan bahwa himpunan awal adalah benar. Kedua adalah mengasumsikan bahwa himpunan awal ditambah satu adalah benar untuk setiap bilangan. Ketiga, menyatakan benar.
Salah satu contoh kasus pembuktian rumus pertidaksamaan adalah P(k): 4k < 2k untuk k >5. Pertama, Anda harus memasukkan nilai k sembarang. Selanjutnya, nilai k tersebut, bisa Anda masukkan ke persamaan tersebut ke dalam P(k+1): 4(k+1)<2(k+1). Setelah keduanya memiliki sifat yang sama, Anda dapat menyatakan bahwa P(k): 4k < 2k benar untuk k>5.
Pembuktian Rumus Deret
Selain pembuktian rumus pertidaksamaan, Induksi matematika juga dapat digunakan untuk membuktikan rumus deret. Sebagai contoh, Anda dapat membutkikan 2+4+6+….+2n = n(n+1). Untuk menyelesaikan masalah ini, langkah pertama Anda harus menunjukkan bahwa P(1) adalah benar. Anda dapat memasukkan angka 1 ke dalam n(n+1).
Ketika Anda memasukkan angka 1 ke dalam maka P(1) adalah benar. Jika P(1) benar maka Anda bisa mengasumsikan bahwa P(k) juga benar. Selanjutnya, Anda dapat menguji kebenaran P(k+1). Setelah Anda mendapatkan bahwa P(k+1) adalah benar. Anda dapat menyatakan bahwa 2+4+6+…+2n=n(n+1) adalah benar.
Contoh Soal Induksi Matematika
Setelah Anda mengetahui banyak tentang teori, prinsip dan berbagai rumus dalam induksi matematika, Anda bisa melatih kemampuan Anda untuk mengerjakan berbagai contoh soal berikut ini. Contoh soal beserta penyelesaiannya tentang induksi matematika berikut ini bisa Anda jadikan bahan latihan sebelum memasuki Ujian Nasional, UTS maupun Ujian Akhir Semester untuk jenjang SMP dan SMA.
- Buktikan bahwa jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah n(n + 1)/2 …
- Untuk semua n ≥ 1, buktikan dengan induksi matematik bahwa n3 + 2n adalah kelipatan 3
- Buktikan sebuah pernyataan bahwa, untuk membayar biaya sebuah Kop Surat sebesar n rupiah (n ≥ 8) selalu dapat digunakan hanya perangko 3 sen dan perangko 5 rupiah itu benar.
- Untuk biaya Pos berapa saja yang dapat menggunakan perangko senilai 4000 dan 5000 rupiah. Jawablah pertanyaan tersebut dengan prinsip yang terdapat pada rumus induksi matematika.
- Di dalam sebuah resepsi pernikahan, setiap tamu melakukan jabat tangan dengan tamu yang lainnya sekali. Buktikan pernyataan tersebut dengan motode induksi matematika jika n orang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n-1)2.
- Buktikan bahwa n3 – n + 3 habis dibagi 3 dan semua n merupakan bilangan asli.
- 7n – 2n habis dibagi 5 dan semua n yaitu bilangan asli, buktikan!
- Jika semua bilangan bulat positif n, 3 pangkat 2n ditambahkan dengan 2 pangkat 2n + 2 akan habis dibagi dengan angka 5, buktikan dengan induksi matematika!
Penutup
Berdasarkan dua pembuktian di atas, Anda dapat menggunakan induksi untuk membuktikan berbagai jenis pernyataan dan rumusan yang ada. Anda dapat mempelajari metode ini lebih mendalam melalui course-course online yang telah banyak disediakan.
Selain itu contoh latihan soal diatas bisa Anda jadikan bahan latihan Anda untuk menghadapi berbagai ujian baik UTS maupun UAS sehingga Anda bisa matang dan maksimal dalam menjalaninya. Semoga informasi mengenai metode, rumus prinsip hingga latihan soal tentang induksi matematika dari Jev Edukasi Online ini bisa bermanfaat untuk Anda sekalian.
